Zapisujemy tak samo: przez ch i samo ż, jednak CHYŻA i CHYŻOŚĆ poza ortografią i podobnym brzmieniem nie mają ze sobą nic wspólnego.  
CHYŻA to chata – wiejska chata albo szopa. Słowo to możemy spotkać w gwarach południowej i wschodniej Małopolski, Śląska Cieszyńskiego, ale także północno-wschodniego Mazowsza. Pierwsze poświadczenia tekstowe sięgają końca XIV w. – pojawiało się stosunkowo często w rotach wielkopolskich. To stare, jeszcze prasłowiańskie słowo: prasłowiańska *χyzja ‘chyża’ była rzeczownikiem pochodzącym od czasownika *χyzati ‘klecić szałas; stawiać naprędce jakieś schronienie’.  
CHYŻY ma znacznie ciekawszą etymologię. Część badaczy wywodzi ten przymiotnik od przysłówka CHYŻO (a więc przyjmuje odwrotny niż zazwyczaj kierunek derywacji), a pochodzenia samego przysłówka CHYŻO – który dawniej miał postać CHYŻE – upatruje w zawołaniu sokolników: „chyćże!”, czyli ‘chwyćże’. Okrzykiem tym sokolnicy mieli wypuszczać sokoła na ptaka, którego sokół miał upolować. Inni badacze wszakże zżymają się na taką hipotezę, nazywając to „przykładem etymologii ludowej” i proponują bardziej prozaiczne wytłumaczenie: CHYŻY byłby kontynuantem prasłowiańskiego *χ(v)yžъ / *χvyz-jъ pochodzącego od czasownika *χvyzati ‘wierzgać, brykać’ i najpierw oznaczałby ‘taki, który wierzga, bryka; jest dziki, nieokiełznany’, a wtórnie od tego ‘żwawy, zwinny, szybki’.  

Źródło:

[SEJP Bor, 75-76; ESJP, I, 172; SO PWN; SJP PWN]